2025 Summer Day28

Content：网络流进阶 Date：2025.8.13

~~昨天太累了，没写，就今天补上吧~~

课堂内容

上下界网络流

OI Wiki：Link

很可惜，没学懂，但是大概意思应该是用差分的思想将原来的上下界网络流转换为网络最大流。~~没学过真的听不懂啊……~~

题目

模拟题-6.2 异或

题目大意

给你一个长度为 $n$ 的数组 $a$ ，问你满足 $(a_{i} \oplus a_{j}) < (a_{j} \oplus a_{k})$ 的三元组 $(i,j,k)$ 有多少个。

解题思路

由于异或 相同为 0，不同为 1 的运算规则，可以发现要满足上述的不等式 $(a_{i} \oplus a_{j}) < (a_{j} \oplus a_{k})$ 只与这三个数第一个在二进制下不同的位置 $p$ 有关。具体来说：

若 $a_{k,p} = 1$ ，则 $a_{i,p} = a_{j,p} = 0$ ;
若 $a_{k,p} = 0$ ，则 $a_{i,p} = a_{j,p} = 1$ 。

发现其实和二进制串的匹配有关，可以用 0/1 字典树解决，在字典树上计算贡献。

Code

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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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constexpr int N = 5e5 + 5;
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constexpr int Z = 2;
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long long ans = 0;
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int n, arr[N], mark[50][2];
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struct Trie {
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    int tr[N * 32][Z], cnt = 1;
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    long long pass[N * 32][2];
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    Trie() {
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        // memset(tr, -1, sizeof(tr));
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        // memset(pass, 0, sizeof(pass));
17
        tr[0][0] = tr[0][1] = -1;
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        cnt = 1;
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    }
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    void Insert(int number) {
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        int pos = 0;
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        pass[pos][1]++;
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        for (int i = 30; i >= 0; i--) {
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            int ch = (number >> i) & 1;
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            if (tr[pos][ch] == -1) {
29
                tr[cnt][0] = tr[cnt][1] = -1;
30
                pass[cnt][0] = pass[cnt][1] = 0;
31
                tr[pos][ch] = cnt++;
32
            }
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            pos = tr[pos][ch];
35
            pass[pos][0] += mark[i][ch];
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            pass[pos][1]++;
37
            mark[i][ch]++;
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            // cout << "Insert: " << pos << ' ' << pass[pos][0] << ' ' << pass[pos][1] << ' ' << mark[i][ch] << '\n';
40
        }
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    }
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43
    long long Query(int number) {
44
        int pos = 0;
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        long long retval = 0;
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        for (int i = 30; i >= 0; i--) {
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            int ch = (number >> i) & 1;
49
            int rev = 1 - ch;
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            // !
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            if (tr[pos][rev] != -1) {
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                // cout << pass[tr[pos][rev]][0] << ' ' << pass[tr[pos][rev]][1] << " " << mark[i][rev] << "\n";
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55
                retval += 1ll * pass[tr[pos][rev]][1] * mark[i][rev] - pass[tr[pos][rev]][1] - pass[tr[pos][rev]][0];
56
            }
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            pos = tr[pos][ch];
59
            if (pos == -1) {
60
                break;
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            }
62
        }
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        return retval;
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    }
66
} t;
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int main() {
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    std::ios::sync_with_stdio(false);
70
    cin.tie(nullptr);
71
    cout.tie(nullptr);
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    memset(mark, 0, sizeof(mark));
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    cin >> n;
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    for (int i = 1; i <= n; i++) {
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        cin >> arr[i];
79
    }
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81
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
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        ans += t.Query(arr[i]);
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        // cout << "\n";
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        t.Insert(arr[i]);
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    }
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    cout << ans << '\n';
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    return 0;
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}