2025 Summer Day30

Content：模拟赛
Date：2025.8.15

Problem-A 图书配对

给定 $n$ 本图书，定义 $merge(a_{i},a_{j})$ 表示 $a_i$ , $a_{j}$ 直接拼接得到的结果，求满足 $merge(a_{i},a_{j}) \mid 9$ 的个数（一个数只能取一次）。

我们可以运用小学奥数的知识，如果一个数能被 $9$ 整除，当且仅当这个数的各个数位之和能被 $9$ 整除，知道这个之后就是一个很经典的问题了。

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给定数组 $a$ ，求 $\displaystyle \sum_{i=0}^{n-2} \sum_{j=i+1}^{n-1} \sum_{k=j+1}^{n} (a_{i} \oplus a_{j}) \times (a_{j} \oplus a_{k})$ 。

由于是二进制意义下的异或运算，很容易想到拆位，计算每一位的贡献。而且求的是三元组 $(i,j,k)$ ，所以我们枚举 $j$ 的位置，考虑 $j$ 左右两边的贡献。

对于异或 相同为 0，不同为 1 的运算法则，我们可以发现， $i,k$ 对于 $j$ 的贡献是左右两边与 $j$ 不相同的位置的个数的乘积，所以我们对于每一个位置计算贡献即可。

涂胶记录：Link

给你一个数组 $a$ ，其中 $a_i$ 表示到达 $i$ 这个位置后你可以到达 $[i+1,a_{i}]$ 中的任何一个位置，求 $\forall i,j$ 互相可达的最小步数之和。

赛时没有想到是 $dp$ ，直接写了个 Floyd (20pts) + 部分分(10pts)。

正解是定义 $d_{i,j}$ 表示从 $i$ 到 $j$ 需要的最少步数。容易发现：

若 $j \in [i + 1, a_{i}]$ ，则 $d_{i,j}=1$ 。
若 $j > a_{i}$ ，则 $d_{i,j} = d_{k,j} + 1$ ，其中 $k$ 表示 $\max_{t\in[i + 1, a_{i}]} a_t$ 所在的位置。

然后记 $\displaystyle f_{i} = \sum_{j=i}^{n} d_{i,j}$ ，则 $f_{i} = f_{p} + (n - i) - (a_{i} - p)$ 。答案即为 $\displaystyle \sum_{i=0}^{n} f_{i}$ 。

终于结束啦喵~